The history of Mathematics: a very short introduction

De Mandanga
La revisió el 08:41, 30 jul 2020 per Meldor (discussió | contribucions) (→‎Mitjans de subsistència)
(dif) ← Versió més antiga | Versió actual (dif) | Versió més nova → (dif)
Infotaula de llibre   Llibre
Títol The history of Mathematics: a very short introduction
Autor Jackie Stedall
Enllaç The history of Mathematics (Oxford University Press)


Icona d'informació   Aquest article conté apunts propis d'estudi, no hauria de ser pres com a resum enciclopèdic del tema.


A The history of Mathematics: a very short introduction, Jacqueline Stedall fa un tractament temàtic de la història de les matemàtiques: no com una successió cronològica de fets i descobriments, sinó com un conjunt connectat d'idees al llarg del temps.

La concepció i presentació cronològica de la història de les matemàtiques suposa diversos problemes:

  1. El coneixement es concep tradicionalment com un progrés fins als esplèndids assoliments de l'era actual (whig history). Aquesta idea de progrés ignora les complexitats, períodes latents, atzucacs i fracassos del procés. A més, definint les matemàtiques actuals com a patró on comparar les matemàtiques anteriors, arribarem sempre a la conclusió que les contribucions passades estan desfasades, ja que les interpretem fora dels seu context.
  2. Es cau massa sovint en un estil d' esglaons en què els descobriments se'ns situen un rere l'altre sense les connexions entre ells. L'objectiu de l'historiador no ha de ser compilar llistes datades d'esdeveniments sinó esbrinar les influències i les interaccions entre ells.
  3. Els esdeveniments claus tendeixen a associar-se amb els descobridors claus, que a més, seran majoritàriament mascles adults del s.XVI endavant. Tenim un accés molt major a les fonts europees d'aquest període, però això ens fa obviar l'experiència matemàtica de la majoria de la humanitat: dones, nens, comptables, professors, enginyers, ... Sense menystenir el valor de determinats coneixements que suposen una ruptura, hi ha d'haver maneres de pensar la història d'acord amb la majoria de gent que fa matemàtiques, no només una minoria.

Matemàtiques: mite i història

Prenem l'exemple del teorema de Fermat per començar. Mirem de tirar enrere des de la conferència a Cambridge d'Andrew Wiles, on va presentar la primera demostració del teorema l'any 1993. El teorema porta el nom de Pierre de Fermat, un jurista del segle XVII que a les seves estones lliures feia Matemàtiques. Aïllat dels cercles d'activitat intel·lectual de París, la majoria de vegades ho feia sol, amb l'excepció de la dècada dels 30 del 1600, quan va poder cartejar-se amb matemàtics d'arreu a través de Marin Mersenne. El primer indici del teorema apareix en un repte que envia a John Wallis i William Brouncker el 1657, però no van considerar-lo prou interessant i van descartar la pregunta. Després de la mort de Fermat, el seu fill Samuel va editar les notes i apunts del seu pare, i sorgeix per primer cop la formulació del darrer teorema, gargotejat al marge d'una còpia de l' Aritmètica de Diofant.

El teorema de Pitàgores afirma que el quadrat sobre el costat més llarg d'un triangle rectangle -la hipotenusa- és igual a la suma dels quadrats sobre els costats més petits. Hi ha infinites ternes de nombres que satisfan el teorema, la més coneguda (3,4,5), ja que 32 + 42 = 52, però també (5,12,13), o bé (8,15,17). Retoquem una mica les condicions. I si en comptes de prendre quadrats prenem cubs, o potències superiors? Podrem trobar en aquest cas també ternes que satisfacin el teorema? Fermat afirmava que no, però que no tenia un marge prou ampli per escriure-hi la seva meravellosa demostració.

El marge del full pertanyia a una edició de 1621 de l' Aritmètica. El llibre ha intrigat els matemàtics europeus des de que es va redescobrir una còpia a Venècia, manuscrita en grec, l'any 1462. L'autor es presenta com a Diofant d'Alexandria, però no en sabem gaire res més. Diofant cita una definició d'Hipsicles (150 aC), i Teó (c.350 dC) el cita a ell, així que tenim un marge d'uns 500 anys per ubicar-lo històricament. En un dels problemes, demana dividir un quadrat en dos quadrats (és a dir, trobar una terna pitagòrica per a nosaltres). La pregunta que va fer a Wallis i Brouncher va ser precisament l'extensió directa del problema: Pot un cub dividir-se en dos cubs?.

Ha sortit el nom de Pitàgores, així que tirem enrere de nou. El teorema de Pitàgores s'ha conegut fa molt temps, però no hi ha cap evidència per lligar-lo precisament a Pitàgores. Si Diofant és una figura nebulosa, Pitàgores està colgat per un llençol de mite i llegenda. Se'n parla a partir del s. III dC, uns 800 anys més tard de quan va viure. Els suposats viatges a Babilònia o Egipte probablement eren ficcions per reforçar l'autoritat de Pitàgores. Tampoc podem estar segurs de res del que feien i creien els seus seguidors.

Les vides d'aquests quatre personatges ocupen uns 2000 anys. Hem explicat, doncs, la història del teorema de Fermat, de principi a fi? La resposta és que no, per diverses raons. Hi ha un seguit de mites i errors en la història de les matemàtiques, que expliquem a continuació.

Història de torres d'ivori

Wiles es va aïllar deliberadament durant set anys per poder treballar en la demostració del teorema. Fermat era un solitari, separat geogràficament i intel·lectualment de qui podia entendre i apreciar la seva feina. De Diofant i Pitàgores ni tan sols s'ha fet referència als seus contemporanis. Eren genis solitaris? És aquesta, potser, la millor manera de fer matemàtiques?

Les històries sobre Pitàgores asseveren persistentment que va establir al seu voltant una germandat que compartia determinades creences religioses i filosòfiques. La germandat estava obligada però a un secretisme estricte sobre l'organització, fet que deixa la porta oberta a l'especulació. En tot cas, queda clar que no era un ermità. Pel que fa a Diofant, a Alexandria devia tenir accés a diversos llibres d'altres parts del Mediterrani al temple, o en col·leccions privades. És possible que els llibres de l' Aritmètica fossin inventats per ells, però també haurien pogut ser un compendi de diverses fonts, escrites o orals. Diofant, com qualsevol altra persona matemàticament creativa, devia discutir els problemes i solucions amb mestres o estudiants propis, no podem pensar en ell com un escriptor solitari sinó com el ciutadà d'una ciutat on l'aprenentatge i l'intercanvi intel·lectual era apreciat.

Fins i tot Fermat, confinat a Tolosa i sense temps, estava menys aïllat del que podia semblar. Un dels seus amics era Etienne d'Espagnet, fill d'un amic de François Viète, a través del qual va accedir a les seves obres, i que el van influir profundament com a matemàtic. Un altre amic, Pierre de Carcavi, el va posar en contacte amb Marin Mersenne, i a partir de Mersenne va establir correspondència amb Roberval i Descartes. Més tard va comunicar-se amb Blaise Pascal i John Wallis.

Amb Wiles es més fàcil encara veure les esquerdes en aquesta teoria de genis solitaris. Wiles s'educa a Oxford i Cambridge, després treballa a Harvard, Bonn, Princeton i París. Assisteix a conferències internacionals, trenca el secret amb un col·lega, Nick Katz, demana una revisió a Barry Mazur, un antic estudiant seu, Richard Taylor, l'ajuda a arreglar la demostració quan es veu que no funciona... Wiles forma part d'una comunitat matemàtica que li possibilita aïllar-se, però que alhora l'ajuda quan és necessari.

Les matemàtiques són fonamentalment i necessàriament una activitat social a tots els nivells. Els estudiants d'història o llengua rarament escriuen els seus assaigs col·laborativament, però els estudiants de Matemàtiques freqüentment es beneficien del treball comú. I tot i els avenços tecnològics moderns, les matemàtiques se segueixen aprenent principalment no dels llibres, sinó de la gent.


Història d'esglaons

La versió de la història de les torres d'ivori aïlla els matemàtics dels seus grups socials i comunitats; la versió d'esglaons (stepping stones) els aïlla del seu passat. Re-examinem la nostra història i els forats que hi apareixen. Pot ser que Diofant no hagués sentit mai a parlar de Pitàgores, però és pràcticament segur que s'havia trobat el teorema de Pitàgores, via els Elements d'Euclides. El teorema podria haver-lo fet pensar en les ternes pitagòriques.

De Diofant a Fermat ara: sabem que l' Aritmètica de Diofant estava escrita en tretze llibres, dels quals només els primers sis van sobreviure en grec (sembla que un manuscrit àrab descobert el 1968 podria ser la traducció dels llibres IV a VII, però no queda clar com de fidel és respecte l'original). Regiomontanus va veure'n un a Venècia el 1462 i va creure que contenia els orígens de l'àlgebra. Un segle després, Rafael Bombelli va estudiar-ne un exemplar al Vaticà. La primera edició impresa va ser publicada el 1575, en llatí, i editada per Wilhelm Holtzman (Xylander). El 1621 una nova edició llatina va ser produïda per Claude Gaspard Bachet a París, la que Fermat tenia i va anotar.

De Fermat a Wiles: l'Últim Teorema no va atreure gaire atenció el segle 17, però en el 18 va ser estudiat per Leonhard Euler, que va treballar alguns casos senzils. El 1816, l'Acadèmia de Ciències de París va oferir un premi per la solució, fet que va animar Sophie Germain a treballar-hi, la feina de la qual va ser aprofitada i estesa per altres. Molts matemàtics van treballar-hi, i els seus resultats devien ser coneguts per Wiles. Quan va posar-s'hi, coneixia resultats matemàtics profunds dels segle 20: la conjectura Taniyama-Shimura, i el mètode Kolyvagin-Flach.

Com més enrere anem, més difícil és omplir els buits, però si no ho intentem, no hi ha història, només un seguit d'anècdotes.

Història d'elits

No sabem quasi res d'Euclides o Diofant, però sí sabem que tots dos havien rebut bona educació, sabien parlar i escriure grec de manera fluida, havien tingut accés a fonts matemàtiques, ... i que les matemàtiques que escrivien no tenien valor pràctic, sinó que eren una fita intel·lectual. Pocs homes podien dedicar-se a aquesta tasca, fins i tot en una ciutat gran com Alexandria. Euclides i Diofant pertanyien a una diminuta elit.

La societat greca, com totes les altres, tenia botiguers, grangers, constructors, i molts altres que de manera rutinària calculaven i mesuraven. No sabem pràcticament res dels seus mètodes perquè probablement només es transmetia la manera de fer oralment. Tampoc estaven organitzats en escoles o gremis. La seva matemàtica no deixava rastres, i els conjunts de marcadors i marques en fusta, pedra o sorra, es descartarien tan aviat com ja no fossin útils. En qualsevol cas, les activitats les feia gent d'un estatus social baix, i no eren d'interès per als intel·lectuals de l'acadèmia. Quan els historiadors matemàtics parlen de matemàtica grega mai hi fan referència, només fa poc això ha començat a canviar i es reconeix la influència en la matemàtica pràctica i del dia a dia del mediterrani oriental.

A més, cal vigilar amb el terme de matemàtiques gregues. Diofant vivia a Alexandria (Egipte), Arquimedes a Siracusa (Sicília), Apol·loni a Perga (avui Turquia)... Les matemàtiques gregues, tan reverenciades pels europeus renaixentistes, s'ha associat al naixement d'Europa. L'absurd d'incorporar Alexandria a Europa és més notori quan pensem en l'exclusió d'Espanya, que sí forma part d'Europa. Se sent freqüentment que els numerals àrabs entren a Europa gràcies a Fibonacci el segle 13, com si el fet que a Espanya s'utilitzessin dos segles abans no compti per res. Els que promouen la causa d'unes matemàtiques d'elits han tendit a assimilar de forma natural en les seves històries tot allò que doni autoritat i respectabilitat, més enllà dels fets inconvenients.

Un exemple en sentit contrari és el de Robert Recorde, que va intentar fer accessibles les matemàtiques d'Euclides a l'home comú, començant per difondre-les en anglès en comptes de llatí i grec, resolent els problemes tècnics, explicant per a què necessitava la geometria la gent vulgar... La història d'elits no deixa espai per a la majoria: les dones, en particular, han d'arribar a ser del nivell de Sophie Germain abans de ser preses seriosament. Però sense la gent que fa i ensenya matemàtiques a tots els nivells, l'elit no podria florir.

Què són les matemàtiques? Qui és matemàtic?

El mot grec mathemata significa "allò que ha estat après", a vegades en un sentit general, d'altres més específicament lligat a l'astronomia, aritmètica o música. El sentit de la paraula va evolucionar al llarg dels segles.

El suàn xinès

A Xina, al període entre el 200aC i el 200dC, trobem registres de gent especialitzada en suàn. Com a nom, "suàn" pot significar un seguit de canyes curtes, fetes de fusta, metall o ivori, que són manipulades en una superfície plana per registrar els nombres en un càlcul, també pot referir-se a l'acte d'utilitzar-les. El suàn tenia relació amb diversos temes comptables, de càlcul de benefici o distribució de recursos, però per molts dels practicants, també estava associat als sistemes astronòmics o de calendari coneguts com a . Totes les societats pre-modernes utilitzaven la posició del Sol, Lluna i planetes per determinar les dates apropiades pels rituals religiosos o plantar les collites, així que fer les prediccions correctes a partir de la informació astronòmica era indispensable per als governants.

A principis dels anys 1980, es va descobrir un text, el Suàn shú shü , que tenia diversos problemes i instruccions per resoldre'ls. Incloïa la multiplicació de nombres i fraccions, repartiments proporcionals, càlcul de cost a partir d'una part, trobar quantitats d'ingredients, càlcul de la conversió de matèries primeres en productes acabats, càlcul d'àrees i volums, conversió d'unitats. La major part, activitats quotidianes i transaccions. Està escrit en un estil molt directe: pregunta / resultat / mètode. Les descripcions del mètode no són molt detallades, probablement es complementaven amb una explicació oral. Apareixen problemes similars en un text posterior, els Nou capítols, que s'utilitzaven ja al principi del segle II dC. No tenim informació sobre l'autor ni el text original, només ens ha arribat una versió de Luí Huï del 263 dC.

Aquests textos no permeten englobar les pràctiques sota un terme de matemàtiques, denoten tècniques i habilitats que es podien aplicar a contextos diversos, des del , el càlcul astronòmic que necessitava la cort, fins al més mundà suàn shù.


Alguns significats de "matemàtiques"

Al voltant del 100dC, Nicòmac va llistar quatre grans disciplines que concernien la multitud (nombres) i la magnitud: aritmètica -estudi de les multituds-, geometria -estudi de les magnituds-, música -moviment entre multituds- i astronomia -moviment entre magnituds-. Quatre segles després, Boeci va desciure-les conjuntament com a quadrivium. Juntament amb el trivium de gramàtica, lògica i retòrica, conformaven les set arts liberals del currículum medieval. L'aritmètica i la geometria van romandre al cor de les matemàtiques, però l'astronomia i la música han seguit camins propis. El trencament es va provocar el segle 17, quan va ser cada vegada més complicat reconciliar la teoria matemàtica amb la pràctica musical, i quan l'astronomia va lluitar per desvincular-se de l'astrologia per ser un camp d'estudi respectable per si sol.

Al Renaixement la divisió quaternària de Nicòmac era massa constrenyida per acomodar l'activitat matemàtica que emergia com a resposta al creixement de riquesa, comerç i viatges. John Dee, el 1570, estableix un esquema per les arts matemàtiques i les ciències. L'aritmètica i la geometria segueixen sent els components clau, però la geometria dóna peu a la geografia, corografia, hidrografia, estrataritmètica; com a derivats de l'aritmètica i la geometria apareixen l'astronomia i la música.. Apareix també la perspectiva, cosmografia, astrologia, estàtica, arquitectura, navegació, antropografia, pneumatímia, arquimestria i altres branques poc comunes. Sembla que es tractava més aviat d'un exercici filosòfic que d'una classificació genuïna de pràctiques existents.

A partir del compendi de Johann Gerard Vossius, al De scientiis mathematicis (1649) és possible resseguir la línia entre el 500 i el 1500 de diversos matemàtics a Anglaterra (Beda, Adelard de Bath, etc.). Un dels temes principals era el computus, el còmput de temps amb finalitats eclesiàstiques. A Itàlia, el comerç porta a obrir escoles d' abacus, que tenien com a base el Liber abaci de Leonardo de Pisa (Fibonacci).

Què són les matemàtiques?

L'activitat matemàtica ha pres moltes formes, només vagament connectades pel fet que requerien alguna mena de mesura o càlcul. Hi ha alguns trets comuns: totes les societats organitzades han de regular el comerç i el còmput del temps (suàn shù i suàn lì, a la primerenca Xina Imperial; abacus i computus a l'Europa del segle 13). Els practicants, però, devien ser d'estatus social molt diferents: els ensenyaments de suàn shù i abacus anaven dirigits a mercaders o oficials, mentre que els de suàn lì o computus anaven dirigits a especialistes de grau alt a Xina, i monjos o escolàstics a l'Europa medieval. Hi ha una separació d'estatus i respecte entre aquells suficientment educats per fer matemàtica d'alt nivell, que usualment requereix un pensament abstracte, i els tècnics o mercaders que treballen amb matemàtica vulgar o comuna, i això s'ha perpetuat al llarg del segles en diversos contextos.

I què vol dir ser matemàtic? Dels quatre que sortien al teorema de Fermat, només Wiles hauria acceptat ser designat com a matemàtic. Probablement Diofant es veia com a aritmètic, no del tipus del suàn shù o de l'abacus, sinó d'una aritmètica superior, que investigava les propietats dels nombres. Fermat, per la seva banda, s'hauria considerat un geòmetra, que en aquell moment era la branca més respectada del quadrivium.

Avui en dia es respecta la disciplina de les matemàtiques, però no sempre ha estat així. Joan de Salisbury (s. XII) afirma que la pràctica de la mathematica (l'endevinament del futur a partir de la posició dels planetes i les estrelles), provenia d'una fatídica familiaritat entre homes i dimonis, i juntament amb la quiromància i l'auguri, eren fonts del mal. Girolamo Cardano va ser empresonat per fer un horòscop de Crist, Thomas Harriot arrestat, de William Oughtred es deia que la gent creia que podia conjurar.

El terme matemàtic només es comença a utilitzar en textos anglesos a partir de 1570, per artillers o astròlegs. Les "prediccions dels matemàtics" eren objecte de sàtira i burles habituals. L'associació persistent entre matemàtiques i astrologia ajuda a explicar perquè els acadèmics prefereixen no fer servir aquest terme. Les matemàtiques, tal i com les entenem ara, són una invenció europea moderna.

Com es disseminen les idees matemàtiques?

Aquells que creuen que les matemàtiques comencen amb Pitàgores pateixen en saber que ja es feien matemàtiques sofisticades fa més de mil anys a Egipte i Babilònia. Tenim poques fonts de les civilitzacions, més de la segona que de la primera, ja que el tauletes han perdurat molt més que els papirs. A l'Índia, el sud-est d'Àsia i sud-Amèrica la situació ha estat molt semblant a la d'Egipte: el clima ha destruït ràpidament materials naturals com fusta, pell o os, així que els historiadors han de fer el que poden amb les poques fonts de què disposen. A vegades, s'opta per ampliar la recerca de fonts, incloent, per exemple, els registres administratius, o l'evidència arqueològica.

El procés de traducció és també complicat: d'una banda, tenim el problema de què estan escrits en llengües avui extingides, però també el problema de com fer accessible els conceptes tècnics d'una cultura a una audiència moderna. Diversos problemes s'entenen només en el seu context històric, i probablement es complementaven amb explicacions orals. Així doncs, una traducció literal probablement no aporta res a algú que no sigui especialista. Històricament, això s'ha resolt fent anotacions o diagrames al text original, o bé traduir-lo a notació moderna (per exemple, algebritzat). Cal anar amb compte, però, amb interpretar això com "el que realment volia dir l'autor", o el que hauria pogut fer amb l'educació moderna.

A vegades es diu que els egipcis utilitzaven un valor de π de 3,16. Mirant les fonts, es veu que en cap moment s'espera que es multipliqui el radi per cap valor per obtenir l'àrea, sinó que el mètode que feien (restar 1/9 al diàmetre, i després elevar-lo al quadrat) fa que l'àrea sigui 256/81, aproximadament 3,16 vegades, el valor del quadrat del radi. Però els procediments són completament diferents.

La traducció de textos babilònics també té aquest problema. Paraules com trencar per la meitat o annexar es tradueixen per "dividir per dos" o "sumar". A més, les primeres traduccions convertien els càlculs mesopotàmics en els seus equivalents algebraics, fent més obscur allò que l'escriba havia pensat i fet, a més de presentar els càlculs com a "primitius".

Si mirem el cas dels Elements, hi ha uns comentaris previs, de diversos segles posteriors. Els errors o alteracions d'un text al següent s'espera arribar a una versió original, però és complicat. El manuscrit més antic que es preserva dels Elements és de 888, escrit en grec i preservat a Bizanci. A mesura que es va expandir l'Islam a les regions de parla grega, el text es va traduir a l'àrab. Els traductors devien trobar-se els mateixos problemes que Recode diversos segles després: és poc probable que els àrabs tinguessin a punt termes pels conceptes abstractes de la geometria euclidiana. Els traductors àrabs van salvar molts textos de l'extinció. La majoria de traduccions dels Elements al llatí no es van fer del grec, sinó de l'àrab. Un cop es va assentar la impremta, els Elements van ser dels primers llibres a ser impresos. Van ser utilitzats durant segles per al currículum escolar, i no va ser fins a mitjans del segle 20 que en van ser trets.

Dos problemes. Dels babilonis: He sumat l'àrea i el costat d'un quadrat i era 0;45 (en termes actuals, s2+s = 3 / 4). D'al-Kharizmi: Un quadrat i 21 unitats són 10 arrels (en termes actuals, s2+21 = 10s). És un problema molt semblant, separat 2500 anys. És coincidència? Només podem especular. El que sí sabem amb certesa és que del 500 aC al 330 aC, l'antic Iraq i el nord-est d'Índia formaven part de l'Imperi Persa, i les matemàtiques babilòniques van ser transmeses a les índies (per exemple en la base sexagesimal en mesures del temps i els angles).

A finals del segle 6 dC ja s'havia desenvolupat un sistema posicional per escriure els nombres. Al segle 7 ja es coneixen a Cambodja, Indonèsia i Síria. Al 773 havien arribat a Bagdad i sobre el 825 al-Khwarizmi n'escriu un text. A finals del segle 10, havien arribat a Espanya, on havien pres la forma moderna occidental en comptes de l'oriental que encara s'utilitza en països àrabs. A partir d'aquí van anar viatjant cap al nord (no hi ha evidència que fos obra de Gerbert). Sobre el segle 12, s'escrivien textos per explicar els nous numerals i els mètodes per calcular-hi, un d'ells el Liber abaci, de Leonardo de Pisa. El predomini dels nous numerals va transcórrer al cap de diversos segles, no pel seu origen oriental i no-cristià, sinó perquè per l'ús del dia a dia el sistema romà juntament amb els càlculs amb els dits eren suficients.

Per acabar, cal evitar parlar de "transmissió" d'idees, no són pals de ràdio, i els creadors no apunten a les futures generacions. Tampoc es pot parlar de "propagació", les idees no són llavors de jardí amb poder per si mateixes per reproduir-se. Ans al contrari, tot intercanvi matemàtic, a gran o petita escala, el fan els éssers humans. Les idees matemàtiques es mouen perquè la gent hi pensa, les discuteix, les anota, i preserva documents importants. Sense gent, no hi ha disseminació de matemàtiques.

Aprenent matemàtiques

El grup més nombrós de gent que fa matemàtiques no són els adults, sinó els infants a l'escola. Resulta sorprenent recordar que la inclusió de les matemàtiques al currículum escolar és un fenomen modern. Un estudi del que s'ha ensenyat, i com, ens explica molt sobre quins aspectes de les matemàtiques s'han considerat rellevants, i per a quins propòsits. S'analitzen a continuació dos casos: una escola a Nippur, al sud d'Iraq, sobre el 1740 aC, i la Greenrow Academy a Cumbria, al nord d'Anglaterra, poc després del 1800 dC.

Una escola babilònica

Nippur va ser un centre religiós important; els seus temples necessitaven escribes per fer recomptes i càlculs. Els nens destinats a ser escribes probablement es formaven de ben joves. La casa F va ser una de les escoles d'escribes de la ciutat, propera a un temple consagrat a Inana. Com totes les estructures de tova, necessitava manteniment freqüent, i moltes tauletes que s'utilitzaven a l'escola es van reaprofitar per al terra i parets de les reconstruccions.

Moltes de les tauletes són planes per l'anvers i lleugerament arrodonides pel revers. A l'anvers hi tenen, a l'esquerra, un text model escrit pel professor, que és copiat per l'alumne a la dreta; al revers, hi tenen un fragment més llarg de material estudiat prèviament. S'ha pogut establir un ordre coherent de les tauletes: els primers passos eren aprendre la tècnica per escriure signes cuneïformes i combinar-los per formar noms; posteriorment, s'adquiria vocabulari escrit a partir d'arbres, animals, etc. En aquest moment ja s'introduïa vocabulari matemàtic (mesures de capacitat de vaixells, de pes pels arbres i pedres, de longituds per joncs de mesura. A continuació, s'esperava dels estudiants que aprenguessin llistes d'inversos de memòria (parelles que multiplicades donessin 60), es creu que això podia necessitar fins a un any d'estudi. Després de tot això, quan ja havien pogut aprendre sumeri més avançat, ja podien passar a fer els seus propis càlculs. Es conserva un consell del supervisor a un escriba més jove, on li aconsella no apartar-se de la instrucció del professor, no començar a fer coses per iniciativa pròpia, fer les tasques encomanades.

Una escola de Cúmbria

L'Acadèmia de Greenrow es funda el 1780. Com l'escola F, era una "empresa" familiar. El pare havia tingut una escola anterior, i havia publicat llibres de text per als seus alumnes, que tractaven sobre el comerç i la navegació, que va heretar el seu fill. L'escola va atreure nois de diversos llocs d'Anglaterra, la majoria de 14 o 15 anys. El currículum típic era Anglès, Francès, escriptura, dibuix, aritmètica, geometria, trigonometria, mesura, topografia, comptabilitat, metereologia, astronomia, mecànica, àlgebra i Euclides. El llibre més antic que es conserva comença per la regla de tres, que s'havia d'aprendre de memòria com a la de Nippur (directa, inversa, composta).

Noies

No deixa de ser estrany tractar la majoria de la humanitat com a minoria, però no hi ha escapatòria al fet que per a la majoria de societats al llarg de la història no s'ha cregut necessari o apropiat educar les noies, i certament no en temes com les matemàtiques o la ciència. No és sorprenent, doncs, que hi hagi poques dones matemàtiques. En alguns casos, però, hi havia excepcions: per exemple, si eren prou riques o tenien temps lliure com per estudiar el que volguessin, com per exemple l'emperadriu xinesa Dèng, que al primer segle dC va rebre lliçons de suàn shù d'una altra dona, Bän Zhäo. Molt més tard, el 1640, la princesa Elisabeth de Bohemia i la reina Cristina de Suècia van rebre lliçons de Descartes, tot i que probablement més interessades per la filosofia que per les matemàtiques. Un segle més tard, Euler va escriure unes 200 cartes sobre temes científics i matemàtics a la princesa d'Anhalt-Dessau (Letters to a German Princess, encara impreses avui en dia).

Una manera més comuna per a les dones ordinàries era ser educades pel pare, espòs, o germà. El segle 19 aC, per exemple, hi ha dues dones escribes a la ciutat babilònica de Sippur, Inana-amaĝa i Niĝ-Nanna, que devien ser educades pel seu pare, també un escriba. Dos mil·lenis després, Dèng i els seus germans reberen instrucció dels seu pare, tot i que la seva mare pensava que era una pèrdua de temps per a una dona. O la parella pare-filla més famosa: Teó i Hipàtia, a finals del segle 4 a Alexandria. Això ha continuat fins al període modern. Ja al segle 18, a les dones se'ls ensenyava matemàtiques només si tenien l'avantatge d'un estatus social alt o pares indulgents, com en el cas de Sophie Germain. Al segle 19, la situació per les dones a Europa occidental va millorar lleugerament, a mesura que es beneficiaven de l'educació elemental. Els llibres que conservem suggereixen que l'educació matemàtica per a noies tenia un èmfasi en la pràctica (no feien Euclides), i el ritme era agònicament lent i repetitiu. Passar de l'educació elemental a la universitària requeria una particular fortalesa de caràcter: tenim els exemples de Flora Philip a Escòcia (nascuda el 1893) i Florentia Fountoukli a Grècia (nascuda el 1869), que van haver de lluitar per aconseguir l'educació que volien. La universitat de Cambridge no va acceptar dones com a membres de ple dret fins el 1947.

Autodidactes

Fins fa dos segles, només un grup molt reduït de noies en tot el món havia rebut educació matemàtica d'algun tipus. Però fins i tot pels nois, l'educació obligatòria en matemàtiques és només un fenomen relativament recent. A l'Anglaterra del segle 17, podies estudiar a l'escola i l'universitat sense haver vist res de matemàtiques, així que la majoria dels que tenien interès o habilitats aprenien pel seu compte. És el cas de Fermat, o de Newton. Al segle 17, i part del 18, una persona prou motivada podia llegir i aprendre quasi de tot el rang de literatura matemàtica disponible. Fins i tot a principis del segle 19, Sophie Germain va aconseguir aprendre pel seu compte part de les matemàtiques punteres de l'època, però va ser pràcticament l'última generació per a qui això era factible. Més endavant, això només ho van poder fer prodigis com Ramanujan. Wiles, certament, no era autodidacta. Els dies en què la matemàtica amateur podien arribar a resoldre problemes punters fa temps que han acabat.

Per què aprendre'n?

En textos sumeris del 2n mil·lenni aC, es veu que la l'alfabetització i les habilitats numèriques eren essencials per l'administració de la societat. Dos mil anys més tard, estudiants d'edat similar educats en escoles d'àbac del segle 13 aprenien a Itàlia, com les seves contraparts babilòniques, a tractar amb nombres, pesos i mesures, però per raons diferents; no pel benefici de la societat en global, sinó per tal que com a individus estiguessin més ben adequats per a les operacions comercials que havien d'emprendre.

Als textos de Recorde s'entreveu una altra raó per estudiar matemàtiques: afilar la ment. No és el primer en suggerir-ho: algunes preguntes atribuïdes a Alcuin del segle 8 portaven per títol "Proposicions d'Alcuin per afilar els joves". Aquesta idea ha continuat des d'aleshores. Després de tot, les matemàtiques necessàries per a la vida ordinària, bàsicament control del temps i comptabilitat, són apreses per la majoria en acabar la infància. Pocs adults necessiten utilitzar el teorema de Pitàgores, o resoldre equacions de segon grau, o bisecar angles. Es podria discutir si aprendre una altra llengua o estudiar història no encoratja igualment la memòria, raonament, i anàlisi, però aquestes assignatures no tenen el prestigi de les matemàtiques. Potser és la longevitat de les matemàtiques el que l'ha fet part integral de l'educació infantil moderna. També és cert que aquells que volen progressar en les fronteres del coneixement matemàtic necessiten, com els joves músics, començar de joves i practicar regularment.

Mitjans de subsistència

Al llarg dels segles, ha variat molt la manera en què els matemàtics han estat contractats. Al 1r mil·lenni, el poder econòmic i polític estava en mans de reis, bisbes, califes i capitosts. Aquells que volien viure de les seves habilitats intel·lectuals, havien de buscar un patró. Tenim els exemples d'Ibn Qurra (826), molt vinculat a la família de Ibn Mussa; setanta anys després de la seva mort, al-Biruni neix en un context menys estable, és retingut presoner i té una relació llarga amb la família del sultà, Ma'sud; poc abans de morir al-Biruni, neix Omar Khayyam, sota el patronat del sultà i el visir.

Alguns punts generals: de la mateixa manera que els matemàtics grecs es trobaven en tot el Mediterrani occidental però rarament a Grècia, aquells que escrivien matemàtiques en àrab estaven disseminats en una regió encara més extensa. Per això, els historiadors prefereixen anomenar-los "islàmics" en comptes de "aràbics", però, com és el cas d'Ibn Qurra, no tots eren musulmans, ni els seus textos matemàtics tenien relació amb la seva religió. No obstant això, vivien en societats on la pràctica i la cultura de l'Islam eren dominants, així que l'etiqueta és probablement millor que alguna altra. Un segon tema és la precarietat de les beques, en un món on ràpidament canvien les dinasties i els governants. Al-Biruni va tenir especial habilitat en atreure l'atenció de patrons de dinasties oposades. Per acabar, cal preguntar-se què obtenia el patró a canvi: en alguns casos, se'ls valorava pel càlcul de dates assenyalades, en d'altres, esperaven beneficis a llarg-termini, també tenir els serveis i la companyia d'intel·lectuals era una font de plaer i prestigi. Però cal al final del segle 12, era més fàcil obtenir posicions pagades a les madrasas, institucions d'ensenyament, i no va ser un tema tan dependent dels capricis o preferències dels governants individuals.

Aquest canvi de patronatge a ocupació professional l'observem també a Anglaterra, entre els segles 16 i 17. Thomas Harriot rep el patronatge de Walter Raleigh, que estava molt interessat en la colonització d'Amèrica, i que volia que ensenyés navegació als mariners. A la tornada, va fer els seus experiments sobre caiguda de cossos a la casa oferta pel seu patró. Quan Raleigh va ser executat, va buscar un nou patró, Henry Percy, que també va ser empresonat força temps a la Torre de Londres. Harriot no va perdre l'interès per la navegació, més endavant va passar també a l'astronomia, i al mateix temps que Galileu va utilitzar un telescopi per observar taques del Sol i cràters de la Lluna. A través de Torporley va aconseguir l'obra de Viète, que influria fortament Fermat, i va ser així dels primers anglesos en veure i apreciar les idees matemàtiques que s'estaven gestant a França. Harriot no va publicar res, no necessitava demostrar res a ningú ni guanyar-se la vida, tampoc va ensenyar. En cert sentit, la seva feina no va tenir molta influència immediata; d'altra banda, la seva llibertat per treballar el va permetre explorar un rang més ampli de temes, i extreure conclusions importants de la seva recerca, és un exemple de blue skies research, ciència motivada per la curiositat sense aplicació immediata

També cal parlar del cas de William Oughtred (nascut el 1573), professor de matemàtiques per a nens i adults, que va adquirir un patró aristocràtic, Thomas Howard, a través del qual va conèixer Charles Cavendish. Cavendish va animar-lo a escriure el seu primer llibre de text, Clavis mathematicae (la clau per a les matemàtiques), que va tenir moltes edicions, i que van ser els primers passos de molts matemàtics del segle 17. Tot i ensenyar a un nivell relativament elemental, Oughtred va encoratjar la disseminació i el desenvolupament de les matemàtiques als inicis de l'Anglaterra moderna.

Un dels trets característics del segle 18 és la constitució de societats científiques i acadèmies. La Royal Society de Londres es funda el 1660, l'Acadèmia de les Ciències de París el 1699, després tenim l'Acadèmia Prussiana de les Ciències del 1700, que es reestructura com a la Royal Academy of Sciences de Berlín el 1740, i l'Acadèmia de les Ciències de Sant Petersburg es funda el 1724. Aquestes acadèmies oferien feina a un petit nombre de matemàtics i científics, i les seves reunions periòdiques permetien presentar i discutir la recerca. Els papers presentats després es publicaven en Actes o Memòries. L'Acadèmia de París també va establir la tradició de fer preguntes amb premi, amb un període de dos anys per donar-hi la resposta. Lagrange va guanyar els premis de 1764 i 1765.


Entrant en les matemàtiques

La dificultat per a l'historiador de les matemàtiques no és tant entendre-les com posar-se a la ment de l'univers matemàtic d'algú d'una altra era. Per exemple, pensem en el teorema de Pitàgores. Per a Euclides i Ibn Qurra, la intuició i la prova del teorema són geomètriques. Actualment, escrivim a2 + b2 = c2. Això representa el teorema que Euclides tenia en ment? En cert sentit, sí, la fórmula és una manera concisa d'encapsular un fet geomètric. Però en un altre sentit, no. Prové d'una cultura molt diferent de la d'Euclides, en què utilitzem lletres per representar longituds, i en què fins i tot oblidem la geometria i manipulem les lletres segons les seves pròpies regles. D'aquesta manera, si volem, també podríem reescriure la fórmula anterior com c2 = a2 - b2 = (a-b)(a+b), que també és cert, però ja no té cap connexió directe amb un triangle rectangle. El canvi del punt de vista geomètric a l'algebraic no és trivial, i el relleu entre geometria i àlgebra a l'Europa Occidental es va donar cap al segle 17.

L'exemple anterior és un cas de reinterpretació matemàtica, que els matemàtics fan sovint. Quan l'Aritmètica de Diofant va ser redescoberta a Europa durant el Renaixement, va passar a ser una font rica de problemes que van ser reinterpretats de diverses maneres, matemàticament i històricament (per exemple, el cas que hem vist del teorema de Fermat). Tenim el cas de Pell, que va desenvolupar un mètode algorítmic per resoldre els problemes de l'Aritmètica. Sembla que Pell volia reescriure els sis llibres de l'Aritmètica amb el seu estil.