Arithmetic

De Mandanga
Infotaula de llibre   Llibre
Títol Arithmetic
Autor Paul Lockhart
Enllaç Arithmetic (pdf)


Icona d'informació   Aquest article conté apunts propis d'estudi, no hauria de ser pres com a resum enciclopèdic del tema.


Comptar és agrupar

Les primeres matemàtiques sorgeixen de comptar objectes. Per a quantitats molt petites -normalment 5 o menys-, podem percebre directament la quantitat. Per quantitats més grans, necessitem que estiguin ordenats (és molt difícil veure a simple vista si hi ha més escuradents en una pila desordenada de 8 o de 9 fins que els arrenglerem tots).

Amb el llenguatge fem servir símbols per designar els objectes. Històricament, la primera manera de comptar és repetint ratlles verticals (III) , però apareix el problema anterior de percepció: què és major, IIIIIII o bé IIIIIIII? Una manera que tenim de solucionar-ho és agrupant, per exemple cada 5, fet que ens permetrà veure d'un cop d'ull que a la dreta n'hi ha més. Però i si encara hi ha més elements?

Per comptar podem fer els grups com vulguem. Inventem dues tribus diferents: la tribu de la Mà expressa els números picant de mans, i quan arriben a cinc es donen un cop al pit amb el puny tancat. És a dir, el nombre que nosaltres anomenem 7 seria “cop-pica-pica”. la tribu dels Plàtans expressa els nombres verbalment. 1 és “na”, 2 “na-na”, 3 “na-na-na”, i quan arriben a 4 fan servir “ba”. El nombre que nosaltres anomenem 7 seria “ba-na-na-na”. [Pot ser divertit fer-ho a classe]

Probablement cadascuna de les tribus desenvoluparia un significat emocional cap a les agrupacions: per als primers, “cop-cop” seria un nombre sòlid, exacte, mentre que per als segons ho seria “ba-ba”, i entendrien “ba-ba-na” com un nombre exacte més alguna cosa que sobra. Com s’entenen entre ells? Un emissari de la tribu dels Plàtans vol vendre una eina que val “cop-cop-pica-pica-pica” plàtans. Si coneix els dos idiomes, probablement pensaria “cop” és “ba-na”, així que “cop-cop” és “ba-na-ba-na”, i per tant costa “ba-ba-na-na” i “na-na-na”. Però com que “na-na-na-na” és “ba”, al final costa “ba-ba-ba-na” plàtans. Amb pràctica, podríem establir punts de referència: “cop-cop-pica-pica” és “ba-ba-ba”, de la mateixa manera que nosaltres veiem 31 com 30 (el grup que ens agrada) més 1.

Sembla complicat? Ho és tant com el que fem aprendre els nens a parvulari, però no ho veiem perquè hi estem acostumats! Ens ajudaria a visualitzar-ho moure objectes. Reagrupant, es veu clar que “cop-cop-pica-pica-pica” és “ba-ba-ba-na”?

Manipular és essencial per entendre el significat dels nombres (que són agrupacions d’elements), fins i tot abans d’operar entre ells.

Suposem que les dues cultures floreixen i les transaccions comercials són cada vegada més complicades. Quan es veuen empesos a considerar nombres més grans, necessiten fer grups de grups per seguir identificant-los a simple vista. Sembla coherent respectar els grups escollits: per la tribu de la Mà, cinc “pica” és un “cop”, i llavors cinc “cop” podria ser “espetec”; per la tribu dels Plàtans, quatre “na” és un “ba”, i llavors quatre “ba” podria ser un “ta”. Podrien no fer-ho així i de fet moltes vegades ens hem complicat la vida comptant però certament no és el més lògic: per exemple, 60 minuts és 1 hora, 24 hores és 1 dia (?!); 16 argenços eren una unça, 12 unces una lliura.

Si la tribu dels Plàtans descobreix l’escriptura i intenta representar d’alguna manera els seus nombres, suposem que tria '◟' per representar un plàtan (“na”), podria fer servir '□' per representar quatre plàtans (“ba”), i '⊞' per representar quatre grups de quatre (“ta”). Per suposat, en qualsevol moment podem desagrupar per veure “ta” com el que és, quatre grups de quatre elements.

I com escriurien els números? Bé, en principi, l’únic important són els símbols que utilitzen, pel que “ta-ba-ba-na-na-na” es pot escriure d’aquestes tres maneres, entre moltes altres:

⊞ □ □ ◟ ◟ ◟

◟ ⊞ ◟ □ ◟ □

□ □ ⊞ ◟ ◟ □


Probablement, però, preferim la primera, perquè com abans, d’un cop d’ull podem veure els grups més grans i el que sobra: un “ta”, i dos “ba”, quasi tres. Per expressar el mateix nombre, els de la tribu de les Mans ho farien amb “espetec-pica-pica”. Com més gran és l’agrupació que escollim (i aquí només variem entre quatre i cinc), més petit és l’esforç que fem per escriure un nombre gran, ja que les nostres unitats són més altes.

En el nostre cas i a l’època actual hem escollit agrupar els elements de deu en deu. Matemàticament no és gaire bona elecció; d’una banda, no podem visualitzar els palets individuals, ja que a cop d’ull no distingim més de cinc palets, de l’altra, tampoc ens dóna avantatges per calcular; fer dobles o meitats de grup seria més senzill si els grups fossin de vuit, per exemple. És probable que l’elecció fos pel fet arbitrari que tenim 10 dits a les mans.

Històricament sempre s’havia optat per diversos sistemes d’aquest tipus -de valor fixat, no posicional-. Alguns exemples:

  • Egipcis: tenien símbols per 1, 10, 100, i escrivien els números acumulant-los.
  • Exemple d'escriptura de nombres en jeroglífics egipcis.


  • Babilonis: tenien dos símbols “I” i “<”, i els acumulaven fins arribar a 60. Un cop tenien 60, tornaven al símbol “I”, però ara “I” significava un grup de seixanta (aquest és una barreja, entre fixat per valors petits i posicional per més grans). És interessant que hi ha agrupacions de 10 per visualitzar els símbols (de fet, de tres seguits màxim per veure-ho d’un cop d’ull, sinó canvien de fila), i que el seu grup de 60 també prové de comptar amb els dits (amb els dits d’una mà comptes les falanges dels quatre dits de l’altra mà, això fa 5*12=60).
  • Taula de l'1 al 60 en numerals babilonis.


  • Romans: feien servir símbols per les potències de 10 com els egipcis, i tenien símbols “menys importants” per a múltiples de 5, per resoldre de nou el problema de la visualització: I, V, X, L, C, D, M. Els números s’escrivien agrupant fins arribar al següent símbol: IIII és 4, VI és 6 (ja que escriure IIIIII no ens permetria veure-ho d’un cop d’ull). Els romans mai van utilitzar la notació “IX” = 9, “XL”=40, etc. per calcular, això es va posar de moda a partir del segle XIII per indicar de manera més compacta números sempre que no s’haguessin de fer càlculs amb ell com fem amb els anys de construcció. És lògic, ja que la gràcia del sistema és precisament que el valor del símbol no depèn de la posició! Podríem reordenar tots els símbols d’un número i calcular: VLCXIIXC de gran a petit és CCLXXVII, 277.

Operacions bàsiques

La manera com escrivim els números està directament relacionada amb com fem servir les agrupacions per comptar. Quan tenim dues piles de pedres, sorgeix de manera natural la pregunta de quantes n’hi pot haver si unim les dues piles. La resposta no és directa: depèn de com ho vulguis comptar!

Per exemple, suposem que en una pila hi ha 7 pedres i en l’altra 8 pedres. Per a la tribu de la Mà, això seria cop-pica-pica i cop-pica-pica-pica, i per a la dels Plàtans, seria ba-na-na-na i ba-ba, respectivament. En tots dos casos sumarien agrupant: En el primer cas, tenim cop-cop d’una banda, i pica-pica-pica-pica-pica, que fa un cop, de l’altra. Per tant, el total és cop-cop-cop. En el segon cas, tenim ba-ba-ba, d’una banda, i na-na-na de l’altra. Per tant, el total és ba-ba-ba-na-na-na, que no es pot agrupar més. Els números es poden unir per si sols, i els és indiferent com ens ho fem per escriure’ls després nosaltres.

Quan sumem fem exactament el mateix, però en comptes de fer grups cada quatre o cada cinc els fem cada deu. Per tant, en el nostre cas, quan unim set i vuit passem tres pedres del vuit cap al set, per fer un grup de deu, i ens en queden cinc desaparellats. Per tant, per a nosaltres 7+8 es pot reagrupar com 10+5, que escrivim 15 (un grup de 10 i després 5 que no es poden agrupar més). Les agrupacions que fem donen nom als números: “vint-i-quatre” vol dir vint (dos grups de 10) i quatre; “twelve” vol dir two-left, és a dir, que passa en dos del grup de 10; “quatre-vingt-sept” vol dir quatre grups de vint i set que sobren de l’agrupació exacta.

Suma

A l’escola fem aquest algorisme (en vertical) per entendre la suma: 57+15 = 60 + 7 + 3 + 2 = 60 + 10 + 2 = 72. Si ho fem manipulatiu, per exemple amb bitllets i monedes, és la manera natural de fer-ho: 5 bitllets de deu i 1 de deu fan 6 bitllets, que són 60 euros, i pel seu compte 7 monedes i 5 monedes es poden reagrupar per formar un grup de 10, que es sumarà als anteriors, i 2 monedes que queden soles. És el mateix que fan les dues tribus quan fan els grups que els agrada més fer.

Per posar-nos a la pell dels nostres alumnes, seria convenient que intentéssim sumar en un sistema de numeració a què no estiguem acostumats, per exemple, quina quantitat seria 𓍦 𓎋 𓏽 unit a 𓍤 𓎊 𓐂 ?

El nostre sistema d’escriure els números demana als alumnes molta memòria: així com els babilonis, egipcis i romans feien servir molt pocs símbols i només es tractava d’agrupar-los, en sistemes més moderns fem servir més símbols: en el xinès, tenien símbols diferents per als nombres de l’1 al 9, i símbols per 10, 100, 1000, … de manera que escrivien 542 com “5-cent-4-deu-2”, en el sistema indo-aràbic (el que fem servir actualment) fem memoritzar als estudiants un símbol diferent per a cada número: 1,2,3,4, … com feien els xinesos, però a més aquests nombres tenen un valor diferent segons el lloc on són per prescindir dels símbols de 10, 100, 1000. Quina contrapartida tenim a tanta dificultat afegida?

En primer lloc, que podem escriure nombres tan grans com vulguem. El sistema egipci i romà necessita un símbol nou cada vegada que fem un grup més gran. Això és insostenible! En segon lloc, que totes les sumes en realitat estan en el rang 1-10 [això fa que siguin especialment importants les descomposicions del 10 a l’escola, i les estratègies de pas al 10]. Això vol dir que quan sumo 538 i 203 en realitat faig 5 centenes (5 grups de 10 grups de 10), 3 desenes (3 grups de 10) i 2 unitats (no tenen grup) units a 2 centenes, 3 unitats, ho faig a cada nivell. Això es podria escriure 5 / 3 / 8 + 2 / / 3 = 7 / 3 / 11 = 7 / 4 / 1. És en aquest moment que té sentit introduir el 0, un número sense sentit fins aleshores, ja que no compta res, però té valor com a separador: 203 vol dir 2 centenes, 0 (cap) desena, 3 unitats. També evita ambigüitats: si només deixéssim espais, “2 3” és 203 o 2003?

Resta

Restar és essencialment el mateix que sumar en principi (tot i que calgui treballar-ne específicament l’estratègia de càlcul), ja que les dificultats són les mateixes: agrupar i desagrupar els grups de 10, que si es fa manipulativament és força intuïtiu. Per exemple: 53-27 = 50-20 / 3 - 7 = 30 / 3 - 7 = 20 / 13 -7 = 20 / 6 = 26, que es pot pensar com una suma al revés: quin número sumo a 27 per obtenir 53? Com abans, per posar-nos a la pell de l’alumne val la pena com a docent provar de fer la resta amb un sistema no habitual: si traiem 𓍤 𓎊 𓐂 pedres de 𓍦 𓎋 𓏽, quantes pedres ens quedarien?

Multiplicació

Multiplicar (“plegar moltes vegades”), per contra, és una operació nova, que significa repetir els grups diverses vegades. És bàsic que des del principi es pugui visualitzar i manipular, amb pedres, cubs, … Per exemple, 7 x 3 vol dir tenir tres fileres de set elements, que si les reordenem...

Quan movem pedres de dalt cap a baix fins a completar fileres de 10 elements, ara veiem a simple vista que és el mateix tenir 3 fileres de 7 elements que 2 fileres de 10 elements i 1 element lliure. Per tant, escrivim 3 x 7 = 21.

Aquesta agrupació en fileres de 10 és arbitrària, però és la base de la nostra manera de comptar: si fóssim de la tribu dels Plàtans, escriuríem □ ◟ ◟ ◟ x ◟ ◟ ◟ = ⊞ □ ◟ (o si ho preferim, 1 | 3 x 3 = 1 | 1 | 1 ja que els agruparíem en grups de 4 -i grups de 4 grups de 4-).

Un altre exemple abans: 6 x 8 = 4 fileres senceres + 8 elements = 48

Memoritzem coses certament estranyes: que 6 fileres de 8 elements es poden reordenar com 4 fileres completes de 10 i 8 elements més. Si agrupéssim cada 9 elements, diríem que són 5 fileres completes i 3 elements més sense filera.

A priori, 6 x 8 no hauria de ser necessàriament el mateix que 8 x 6, però si girem el cap veiem que sí (és el mateix tenir 6 fileres de 8 que 8 fileres de 6), així que la distinció no és gens important. Com abans, si el model de graella es visualitza i s’ha treballat prou vegades manipulativament, la commutativitat l’hauria de deduir l’alumne sense moltes dificultats afegides.

Aquí passem a l’altra observació clau, i la base del nostre sistema de numeració posicional: multiplicar pel nostre grup preferit per comptar (nosaltres, 10) canvia les unitats de tot, fa un desplaçament. Per exemple, quan la tribu dels Plàtans multiplica per 4, tot es mou: “□” vegades “□ ◟ ◟” és “⊞ □ □” (“ba” passa a “ta”, “na” passa a “ba”). Quan nosaltres multipliquem per 10, ens passa el mateix: 13 x 10 = 130, llegit com “1 desena i 3 unitats” passen a ser “1 centena i 3 desenes”. Entendre aquest desplaçament és fonamental des de molt al principi.

Com en el cas de la suma, això ens permetrà fer el salt més endavant a multiplicacions més complicades. El primer que hem de veure, però, és que totes les multiplicacions en realitat són en el rang 1-10, com en el cas de la suma. Quan jo faig 300 x 70, en realitat estic fent 3 x 10 x 10 x 7 x 10, que com he vist que puc reordenar, serà 3 x 7 i després tres desplaçaments: 300 x 70 = 21 000. Pot resultar útil veure els tres productes com una caixa plena de roques: 300 són 10 capes de 3 fileres de 10 elements.

Un cop vist això, em puc plantejar resoldre multiplicacions més complicades: què vol dir fer 14 x 3 ? Són 10 fileres senceres i 4 elements més, repetits 3 vegades. Si ordeno les fitxes, tinc dues caixes: les 10 fileres, repetides 3 vegades (30), i els 4 elements, repetits 3 vegades (12), per tant en total 42 fitxes.

Si ho aplico a calcular 27 x 12 estic fent (20 + 7) x (10 + 2). Quan passi de les fitxes a la representació amb números, això serà com la taula següent:

  20 7
10 10x20 10x7
2 2x20 2x7

És a dir, 2x1 i dos desplaçaments, més 7x1, i un desplaçament, més 2x2 i un desplaçament, més 7x2, en total: 200 + 70 + 40 + 14 = 324.

Encara ho puc complicar una mica més: 144 x 56 seria:

  100 40 4
50 5000 2000 200
6 600 240 24

Per tant: 144 x 56 = 5000 + 200 + 600 + 240 + 24 = 8064.

Matemàticament, aquesta idea és molt més poderosa que no l’agilitat de càlcul, i ja no té sentit treballar productes gaire més complicats. Per exemple, per fer 315 x 283 probablement qualsevol de nosaltres ja passaria a agafar el mòbil. [Fins ara, aquesta distributivitat la treballàvem a 2n d’ESO, a partir d’estratègies de càlcul anteriors: 12x4 = 10x4+2x4 = 48, però en general els resulta complicat.]

Per a aquests altres càlculs més complicats, el que sí cobra més importància de la que tenia fins ara és haver treballat molt l’ estimació, que és bàsicament fer una multiplicació significativa mentalment i veure quants desplaçaments hi haurà. Per exemple, si vull fer 315 x 287, com que quan faig 320 x 300 bàsicament calculo 3,2 x 3 = 9,6 (ara passo a explicar els decimals) i després toquen 4 desplaçaments, el resultat no ha de ser molt lluny de 96 000. Si estic disposat a dedicar-hi més temps per calcular-ho de manera més exacta, 315 x 287 és més o menys 315 x 290 = 315 x 300 - 315 x 10 = 94500 - 3150, que serà aproximadament 91 000. Evidentment això porta un temps per treballar aquestes i altres estratègies de càlcul.

Divisió

La divisió és un repartiment. Si som un cabrer egipci i volem repartir 𓍪 𓎋 𓏼 cabres entre cinc cabrers ho repartiríem com si fossin monedes: de moment puc repartir una 𓍢 i una 𓎆 a cadascú, de forma que em queda: 𓍢 𓎆 𓍢 𓎆 𓍢 𓎆 𓍢 𓎆 𓍢 𓎆 i em falta per repartir 𓍣 𓎆 𓏼 . No queden cinc unitats de res, així que canviem les dues monedes 𓍢 per un total de vint 𓎆. Això ens permet repartir de nou: 𓍢 𓎊 𓍢 𓎊 𓍢 𓎊 𓍢 𓎊 𓍢 𓎊 i em falta per repartir 𓎆 𓏼. Fent de nou el canvi de monedes, una 𓎆 per deu 𓏺, veig que a cada cabrer li puc donar finalment 𓍢 𓎊 𓏻 i ens en sobren tres.

Un exemple amb la nostra notació: vull dividir 248 entre 7. Com que 7 x 3 = 21, veig que 7 x 30 = 210, i per tant cadascú rep 30 de moment. Ens en queden 248 - 210 = 38 per repartir. Com que 7 x 5 = 35, encara puc donar-li cinc més a cadascú, que per tant rebrà 35. i ens en queden tres que no podem repartir. Potser algun alumne va més lent al principi: de moment li dono 10, després li dono 20, després li dono 5… perfecte!

Part que rep cadascú     Total a repartir
  248
30 -210
  38
5 -35
35 3


Un altre exemple: 6842 a repartir entre cinc. De moment li dono 1000 a cadascú, me’n queden 6842-5000=1842, després li dono 300, me’n queden 1842-1500=342, després li dono 50, me’n queden 342-250=92, ara veig que li puc donar encara 10 més, me’n queden 92-50=42, i finalment li dono 8, me’n queden 42-40=2 que no puc repartir. En total, cadascú ha rebut 1000+300+50+10+8=1368.

Parts i propietats dels nombres

Fraccions

Ens ocupem ara d’aquest residu que no hem pogut repartir amb les fraccions. En primer lloc, cal observar que no tot és repartible; en la majoria de casos quan reparteixo no puc anar més enllà: si estava repartint violins i n’han quedat dos sense repartir, no puc tallar-los per la meitat i donar a cadascú una part de violí, ja que un violí deixa de ser-ho quan el tallo. Per contra, si estic repartint llet, o llenties, sí que puc fer servir recipients més petits per ajustar el repartiment. Els egipcis el que feien era primer provar de repartir meitats, després terços, després quarts, i així successivament.

Així com en els grups més grans sempre fem grups de deu, quan partim les coses això no sempre ens és gaire convenient. Quan partim en cinc trossos, per exemple, cadascun d’ells és un cinquè (diem que 5 és el denominador, el que denomina, és a dir, posa nom a la part, i si d’aquests n’agafem 3, a aquest nombre l’anomenem el numerador, és a dir el que compta quantes d’aquestes parts agafem). Aleshores, escrivim la fracció ⅗ vol dir que la unitat s’ha partit en cinc trossos, i n’hem agafat tres. Malauradament, així com en la multiplicació 3 x 5 = 5 x 3, en el cas de les fraccions ⅗ i 5/3 no tenen res a veure. De fet, 5/3 és un artifici matemàtic, seria més natural entendre-ho com una unitat sencera i ⅔ d’una altra, que antigament s’escrivia 1 ⅔, tot i que avui en dia aquí no s’utilitza.

És important entendre però que estem comptant com abans. Si jo tinc set i cinc del que sigui, he vist que quan els sumo en tinc dotze. Això vol dir que hauria de resultar intuïtiu que ⅞ + ⅝ = 12/8, ja que aquí el que estem sumant són vuitens.

Si el que ens interessa és comparar fraccions o operar amb elles, aleshores és interessant saber expressar les parts de manera diferent. Si tenim mitja ampolla, tenim una meitat, o dos quarts, o tres sisens… fins i tot podríem arribar a acceptar que tenim 1,5 terços (no és ben bé el mateix, ½ que 2/4, estem dient com estan fetes les divisions). En tot cas, normalment les divisions més útils són en 2, 3, 4, 5 i divisions repetides, com a música (2,4,8,16 parts del compàs), però mai ens caldran fraccions com 25/13.

Amb la irrupció del sistema mètric, tot es va normalitzar i s’expressa com a múltiples i submúltiples de 10, per això conviuen els decimals (més útils en general per a Ciència) i les fraccions (més útils en generals a Matemàtiques). Per exemple, dues ampolles i mitja s’escriuria 2+½ en fracció, però també 2,5 en decimal. Aquesta “,” s’utilitza per separar les unitats senceres de les parts d’unitat, i igual que abans véiem els múltiples com desplaçaments en un sentit, ara les parts en aquest sistema es poden veure com desplaçaments en l’altre sentit: 25 x 1,2 serà 25 x 12 desplaçat, és a dir, 300/10 = 30. Aquí torna a ser molt important l’estimació (25 per “1 i una mica més” m’ha de donar “una mica més” de 25, seria absurd 200 i escaig).

Com podem repartir un gram entre vuit provetes? No ho fem, en realitat repartim 1000 mg entre vuit, que ens dóna 125 (és bàsic aquí dominar els desplaçaments, que més endavant voldrà dir saber canviar d’unitats). Per tant, ⅛ és 125 desplaçat tres unitats: ⅛ = 0,125. Veure això hauria de portar a la connexió de que la fracció no tan sols es pot interpretar com a part d’un element, sinó també com a divisió.

Percentatges

També cal fer esment als percentatges: ¼ és com 25/100, i per tant equival al 25%. No sabem què passarà d’aquí a unes dècades, si tot seran decimals, però és improbable: els nostres grups de 10 en realitat són molt dolents per repartir, i això fa que fraccions molt elementals com ⅔ no es puguin expressar bé en decimals (sempre queda a repartir).

Què és més gran, 3/7 o ⅖? Aquí el problema és que fem servir unitats diferents per comparar. La resposta directa és calcular-ho: 2/5 = 0,4 mentre que 3/7=0.428… i per tant ja tenim la resposta, 3/7 és lleugerament major. Però quant més gran? I si són molt properes, podem buscar un altre mètode? Sí, i l’important aquí és escalar els nombres. Si 3/7 ho escalem cinc vegades tenim 15/35, i si ⅖ ho escalem set vegades, tenim 14/35. Per tant, ara ho veiem clar, 3/7 és 1/35 més gran que ⅖. És més important que entenguin que sempre poden trobar un múltiple comú (7x5=35), que no assegurar-nos de que sempre facin servir el mínim.

Divisibilitat

Normalment això ens porta a parlar per primer cop de propietats dels nombres entesos ja com a objectes abstractes: en particular, de les relacions de divisibilitat, del mínim múltiple comú i del màxim divisor comú, que estan totes relacionades. Per entendre la divisibilitat, la manipulació segueix sent important. Un nombre primer no és un nombre divisible només per ell mateix i la unitat (com pot entendre això un alumne si ho veu per primera vegada?), sinó més senzill: un nombre que no es pot organitzar com a rectangle! Twitter: Test de primalitat movent boles (espectacular!)

Pel que fa al màxim divisor comú, tampoc té gaire sentit fer tots els divisors possibles (com a exercici potser sí és interessant, com a mecànica general no), ni ho seguim fent així a Secundària. No podem perdre de vista la geometria que hi ha darrera. Entre 28 i 34 busquem una part comuna que ens permeti mesurar-los als dos. Si els representem (faig que cada quadre tingui costat dos), comparem els verds i els blaus:

Càlcul geomètric del màxim divisor comú entre 28 i 34 utilitzant l'algorisme d'Euclides.

Com que el blau hi cap una vegada en el verd, traiem tota la part que ja està comparada. Queda el rectangle vermell de la dreta, que el torno a posar a sota. Baixo a la següent línia: com que el rectangle verd hi cap quatre vegades en el blau de sobre, el trec, queda el rectangle vermell de la dreta, que torno a escriure més a baix. Baixo a la següent línia: com que el rectangle blau de sota cap una vegada en el verd de sobre, el trec, queda el rectangle (quadrat) vermell de la dreta, l’escric a sota. Baixo a la següent línia: com que el rectangle verd cap exactament dues vegades en el rectangle blau, ja he acabat, és la mesura comuna. Per tant, el màxim divisor comú entre 28 i 34 és 2, la longitud de l’últim rectangle que he construït. S’anomena l’ algorisme d’Euclides, és força més ràpid (és el que s’utilitza per programar), es pot fer amb policubs o qualsevol material a classe, i és més fàcil d’entendre!